\chapter{1865年克劳修斯不等式}
	
	\section{克劳修斯不等式证明} \subsection{理论基础} 克劳修斯不等式 $\oint \frac{\delta Q}{T} \leq 0$ 的证明需基于以下两个核心原理： \begin{itemize} \item 卡诺定理：所有工作于相同热源间的热机，可逆热机效率最高 \item 热力学第二定律开尔文表述：不可能从单一热源吸热完全转化为功 \end{itemize}
	
	\subsection{严格证明过程} \begin{enumerate} \item \textbf{系统构建}
		设系统经历任意循环过程，与$n$个热源接触交换热量$\delta Q_i$，热源温度为$T_i$。引入辅助热源$T_0$，并通过可逆卡诺热机建立补偿机制。
		
		\item \textbf{卡诺热机补偿}   每个微过程通过卡诺热机将实际热交换$\delta Q_i$转移至辅助热源$T_0$，满足： \[ \frac{\delta Q_i}{T_i} + \frac{\delta Q_{0,i}}{T_0} = 0 \quad \Rightarrow \quad \delta Q_{0,i} = -T_0 \frac{\delta Q_i}{T_i} \]  \item \textbf{联合系统分析}   联合系统（原系统+所有卡诺热机）仅与$T_0$交换净热量： \[ Q_0 = \sum_{i=1}^n \delta Q_{0,i} = -T_0 \sum_{i=1}^n \frac{\delta Q_i}{T_i} \] 由热力学第一定律得$Q_0 = W_{\text{总}}$。  \item \textbf{第二定律约束}   根据开尔文表述，$Q_0 \leq 0$（否则违反第二定律），故： \[ \sum_{i=1}^n \frac{\delta Q_i}{T_i} \leq 0 \quad \xrightarrow{n\to\infty} \quad \oint \frac{\delta Q}{T} \leq 0 \] 等号仅对可逆过程成立。 
		
	\end{enumerate}
	
	\subsection{熵的引入} 当过程可逆时，可定义状态函数熵
	
	$S： [ dS = \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T} \quad \Rightarrow \quad \Delta S = \int \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T} ]$
	
	 对于不可逆过程，则有：
	 
	 $ [ \Delta S > \int \frac{\delta Q_{\text{irrev}}}{T} ]$
	 
	 此即熵增原理的微分形式。
	
	\section*{参考文献} 
	\begin{thebibliography}{9} \bibitem{clausius1865} Clausius R. Über verschiedene für die Anwendung bequeme Formen der Hauptgleichungen der mechanischen Wärmetheorie[J]. Annalen der Physik, 1865, 201: 353-400.
		
		\bibitem{rankine1850} Rankine W J M. On the mechanical action of heat[J]. Transactions of the Royal Society of Edinburgh, 1850, 20: 147-190.
		
		\bibitem{carnot1824} Carnot S. Réflexions sur la puissance motrice du feu[M]. Paris: Bachelier, 1824. \end{thebibliography}
	